ネットワークは繋がるのにAirMac管理ユーティリティに表示されない。

＜その他＞を選択し、IPアドレス＜10.0.1.1＞、パスワード（貴殿が設定したもの）でログインしてみては？

早々の提案どうもありがとうございます！
試しにやってみたのですがやはりログインできませんでした。。IPアドレスを割り振っていないのでおそらく＜10.0.1.1＞ではないのだとおもいます。ルーターが＜192.168.0.1＞なのでIPアドレスもその範囲だとは思うのですが。

ベースステーションのWAN側の設定はどうなっていますか？
DHCPサーバを参照、にしておけばよいのですが。
これを確認するには管理ユーティリティが必要なので、出荷時へのリセットが必要になるかもしれません。

ベースステーションのWAN側の設定はどうなっていますか？
DHCPサーバを参照、にしておけばよいのですが。
これを確認するには管理ユーティリティが必要なので、出荷時状態へのリセットが必要になるかもしれません。

ハードウェアリセットをして最初から設定しなおしてみましょう。
http://docs.info.apple.com/article.html?artnum=107451-ja

リセットしてもう一度、落ち着いて設定しなおしてみました。
DHCPを参照にしていても、「IPアドレスを割り当てない」設定にしてしまうとダイヤルアップルーターのブリッジとして機能してしまうのか管理ユーティリティには表示されなくなってしまうようです。
ダイヤルアップルーターを接続していないと、この設定でも管理ユーティリティーにも表示されるのでやはりルーターにつないでいることが問題なのかもしれません。
IPアドレスを割り当ててAirMacを普通にルーターとして機能させればいいのでしょうが、それだと今のところインターネットに接続できなくなってしまっているので、ルーターにルーターをつなぐ方法でインターネットにも接続できないかどうか調べてみようとおもいます。
アドバイスいただきどうもありがとうございました。

YAMAHAのダイヤルアップルータのDHCP設定、ゲートウェイアドレスがAirMacと同一になってしまっていませんか？
基本的な事をもういちど勉強してから設定してみましょう。
なんとなく理解しているだけでは、自身の設定がマズイ事に気がつかず、ハードウェアのせいにしてしまいがちです。
参考情報：
http://www.allied-telesis.co.jp/library/nw_guide/device/router.html

＞DHCPを参照にしていても、「IPアドレスを割り当てない」設定にしてしまうとダイヤルアップルーターのブリッジとして機能してしまうのか管理ユーティリティには表示されなくなってしまうようです。
IPアドレスがRTA52iからDHCPで取得できないないからですね。このボードの他の例もあったので、ベースステーションのDHCPクライアントとしての不具合があるように思います。
RTA52iに設定してあるLAN側使用のネットワークアドレスがわかりませんが、192.168.0.1/24だとすると、ベースステーションに192.168.0.220等、DHCP配布範囲外のアドレスを手入力すればとりあえず回避できます。
いずれファームウェアのアップデートで解消されるかもしれません。
今回の場合、ベースステーションをルータにするとインターネットに繋がらなくなると思われます。ベースステーションとRTA52iが通信できなくなるからです。この時、ベースステーションとPCの間は別ネットワークとなっており、通信できるので管理ユーティリティにもベースステーションが現れます。
ブリッジだと、ベースステーションとRTA52iが通信できなくても、PCがベースステーションを経由してRTA52iと直接通信するのでインターネットには繋がります。

何か設定がおかしいんじゃないかと思います。そうでなければ、故障か、
先ずは、有線で確認を。例えば、
ヤマハ<-有線->WANポート（Extreme）　　:DHCP参照
　　　　　　　　（Extreme）LANポート<-有線->Mac：IPアドレスを配布
これで、Macには10.0.1.2（確か）が配布されるはず。Extremeがルータとして動作しますが、これでも、インターネット接続は可能。
この接続でMacからヤマハのルータにログインできれば、宅内の有線接続ネットワークが完成。
ヤマハのルータがDHCPで配布するIPアドレスとその範囲を調べる。仮に、192.168.0.10だとする。範囲は10-100だとする。
ExtremeのWAN側に、ヤマハルータのIP配布範囲から外れたIPアドレス（例えば、192.168.0.120、最後の数値は101-254の範囲で可能）をマニュアル設定する。サブネットマスクは255.255.255.0、ゲートウエイ（又はルータ）は、ヤマハルータのLAN側ＩＰアドレスで、この例では192.168.0.1。
これでMacからヤマハルータの設定画面を見ることができれば、Extremeとヤマハルータとの固定ＩＰでの接続が完成。AirMac管理ユーティリテがExtremeにIPアドレス192.168.0.120でアクセスでき、設定できることを確認。
次に、Extremeをブリッジ化するために、「IPアドレスを割り当てない」にチェックを入れる。
こんな手順になります。一つ一つチェックして、進めてください。
なお、無線は、
　SSIDの非公開化
　暗号化
　MACアドレスによるアクセス制御
を設定して下さい。

fzさん、くろさん、abcdefgさん、アドバイスどうもありがとうございます。情報を参考にしながらもう一度挑戦してレスすることにします。
＞基本的な事をもういちど勉強してから設定してみましょう。
＞なんとなく理解しているだけでは、自身の設定がマズイ事に気がつかず、ハードウェアのせいにしてしまいがちです。
確かにその通りだと思いました。もう一度最初からおさらいしながらやってみます。

AirMacExtremeBaseStationは現行の四角いモデルですか？それとも以前の丸いモデルですか？
＃現行モデルと思ってましたが、違ったかな？

おはようございます。前のモデルで丸いスライムみたいなやつです。そういえば、現行モデルは四角くなったんでしたね。説明不足でした。
今日にでも設定しなおしてみます。

おかげさまで管理ユーティリティで正常に認識されるようになりました。DHCPサーバーを参照せずにRTAルーターのアドレスの範囲を設定し直して、その範囲外のアドレスをAirMacに指定したところうまくいきました。
とても勉強になりましたし、AirMacもとても便利に利用できるようになりました。いろいろご助言いただきありがとうございました！