起動Appleロゴが消えてしまいました・・・・

優先度の順にコメントします。
１）ホームディレクトリのライブラリフォルダにあるCachesフォルダをデスクトップへ移して、再ログインしてください。
２）解決しない場合は、HDD内の重要なデータをすべて外付HDDにバックアップしましょう。
３）CDで起動し、ディスクユーティリティーでHDDを検査してください。
４）まだ駄目なら、HDDを初期化してインストールしてください。
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アドバイスありがとうございます。１）を試したら、２秒くらいロゴがでましたが、今度は白っぽい四角に化けました。そして３）を試したところ、問題は見つかりませんでした。まだなおらないので４）を試したいのですが、software install and restore というディスクで良いのでしょうか？わたしのMacはOS10.3.8で、わたしのもっているディスクにはOS10.2.3と書いてあります。他に持っているのはPantherのUpgrade Disc3枚だけです。この場合 OS10.2.3のsoftware install and restoreをインストールしてから、またPantherをいれなおさなければならないのですか？外付けのHDDにバックアップはしましたが、初期化するとデータは全部消えてしまうものなのですか？もしよかったら教えてください。

初期化は最終手段として、
とりあえずユーザを残したままアーカイブインストールしてみてはいかがでしょうか？
ユーザ内のデータに問題ない場合、大概これで解決すると思うのですが・・・。

＞この場合 OS10.2.3のsoftware install and restoreをインストールしてから、またPantherをいれなおさなければならないのですか？
その通りです。
いきなりPantherのUpgradeCDでインストールしようとしても、「10.2が無い」と文句を言われます。
＞初期化するとデータは全部消えてしまうものなのですか？
はい。　きれいさっぱりと。

>初期化は最終手段として
今回の件では、ぜひ行って欲しいところです。
HDDに不良ブロックができていて、それによってOSの一部が壊れて症状に繋がっている可能性が（多少ですが）あるためです。
不良ブロックがある場合、アーカイブインストールでは状況をさらにややこしくし、被害を増加させる恐れがあります。
まあ、本当にHDDが壊れてしまったら、初期化しても駄目なのですが…。まだそこまで酷い様子は見えませんし。

初期化、アーカイブインストールの前に、私ならまずデータのバックアップを取ったあと、システムのキャッシュも捨てて様子をみます。理由は、不具合がロゴマークの表示とFinderのヘルプのファイルが壊れたことしか無いからです。
手順は、ハードディスクの上の一番上の階層の、
/Library/Caches/
と
/System/Library/Caches/
の中身をごみ箱に入れて再起動するだけです。
ごみ箱に入れるときに管理者のパスワードを聞かれます。
もちろんシステムの他のファイルにも異常がある可能性は低くないし、ハードディスクに異常がある可能性もあるので、可能な限り早く初期化、再インストールを行うほうがbetterであることに間違いはありません。

＞システムのキャッシュも捨てて様子をみます
ロゴ、完璧になおりました！
YK30さんをはじめ、書き込んでくれた方々、本当にありがとうございました。
Finderのヘルプがまだなおっていませんが（たまにみれたりみれなかったり）、
HDDに問題が無いことがわかって一安心しました。

ロゴが直って良かったですね。
Finderのヘルプが見られないということですが、もしかしたら下記のファイルをごみ箱に捨ててから再起動（再ログインでも良い）すると、直るかもしれません。
ホーム/ライブラリ/com.apple.helpviewer.plist
ただし、これらの症状が治っても、HDDやOSのファイルのすべてに問題がないということが証明されたわけではないので、データのバックアップはマメにとって、なるべく早く時間を見つけて初期化、OSの再インストールをすることをお勧めします。