Finderウィンドウ

".DS_Store"を検索して消去したら直るかも知れません。
このfileはwindowの位置やサイズなどの情報を記憶します。またfinder windowを開いたまま終了すれば、起動後にfinder windowを自動的に開きます。
.DS_Storeに書き込めないか、読み書きが機能しないか分かりませんが... :-)
finderのfindでinvisible itemsをcheckして検索して消去するか、terminalのfindで検索と消去を実行するかして試して下さい。
# finder > find > other... visibility > invisible items 　英語環境なので

ホーム/ライブラリ/Preferences/com.apple.finder.Plist
これを一時退避して、再起動してみたらどうでしょう。

.DS_Storeはそのフォルダ内のアイコンなどの情報を記憶しておくファイルでしょう。
Finderに限らず、各アプリのウィンドウ情報が保存されているのは、愚者猫さんがご指摘のようにplistファイルだと思います。

ぴっぴさん、愚者猫さん、Y. Kawabeさんありがとうございます。
結果からいいますと、.DS_Storeの削除もcom.apple.finder.plistの一時退避も試しましたが、解決されませんでした。
まあ、普段はスリープさせてることがほとんどなので、あまり支障はないのですが、どうも気持ち悪いです。
また、何かいいアドバイスありましたら、よろしくお願いします。

2つを記憶してproperty list editorでcom.apple.finder.plistとscreen shotを比較しました。それらしいComputerWindowBoundsとWindowStateには変更はありませんでした。でも試して貰ったほうが良いと思います。
Finderは他のappsとは違いますのでfolderなら他のappsが自由に使えますのでfolderにcustomize toolbarとsidebarと細工をしていると考えました。com.apple.sidebarlists.plistもあることだし...　:-)

では/System/Library/User Template/Japanese.lproj/Library/Preferences/に...
.GlobalPreferences.plist, com.apple.finder.plistがありますのでterminalを使い取り替えられたら直ると思います。:-)
sudo cp -f /System/Library/User\ Template/Japanese.lproj/Library/Preferences/.GlobalPreferences.plist /Users/Luke_Skywalker/Library/Preferences/
sudo chown Luke_Skywalker /Users/Luke_Skywalker/Library/Preferences/.GlobalPreferences.plist
sudo cp -f /System/Library/User\ Template/Japanese.lproj/Library/Preferences/com.apple.finder.plist /Users/Luke_Skywalker/Library/Preferences/
sudo chown Luke_Skywalker /Users/Luke_Skywalker/Library/Preferences/com.apple.finder.plist
sudo reboot
# Luke_SkywalkerをHome名に変更して下さい。

やってみましたが、何故か直りません。
１０．２からアップデートインストールして、かなり使ってますので、そろそろクリーンインストールかな？
このまま、１０．４にするのも不安があるし。
とにかくアドバイスありがとうございました。

> １０.２からアップデートインストールして...
これでは直らなくても不思議はないと思います。良く今まで問題なかったですね。:-)
# HDDを消去してPantherをclean install、直ぐに10.39 Comboを入れてSoftware Updateでcheckされると必要なupdateを表示しますので入れて下さい。終わったらSoftware Updateでupdateが無くなるまで行って下さい。なお、お持ちでないsoftのupdateは入れる必要はありません。今より格段に快適になると思います。:-)

アドバイスありがとうございます。
でも、クリーンインストールとなると１０．４の買い時か迷うところです、
お財布とよく相談してみます。
ありがとうございました。

>クリーンインストールとなると１０．４の買い時か迷うところです
G4のマックを使っているのであれば、10.4.xは買っておくべきでしょう。
既に10.5は64bit化される事が判っています。今のG4は32bitコンピュータです。一応次期10.5は32bit compatibleとなっていますが、G4には重すぎるかも知れません。
今現在の10.4.xを買っておいて、あとはアップデータを保存しておく、こういう方法で良いと思いますが。
あとはクリーンインストールするのは10.4に限らず、10.3でも出来るので、迷っているのならば取りあえず10.3でクリーンインストールしてしまうとか。

自己解決しました。っていうか、自分が悪かったのですが。
ユニバーサルアクセスの複合キーを入にしてたのですが、そうすると、shiftキーが
押された状態で起動します。（仕様？）
そうすると、Finderのショートカットが効いて、Finderウィンドウを閉じるが行われてしまう、という訳でした。
大変お騒がせしました。