デスクトップが２つに　不可視フォルダ

ファインダーでホームを表示しておいて、「移動」メニューから、「フォルダーへ移動」にして、.（ユーザ名）と入力してやれば、ホーム以下にある.（ユーザ名）のフォルダーを表示する窓がでませんか？
あとは、ターミナルで、ls -al とすれば不可視ファイルもすべて表示できます。
rm -fr .（ユーザ名）
とすれば、.（ユーザ名）のフォルダーごと削除できます。

プルダウンですよね
iBook なのでドライブ2基って言うことは無いので、パーティション切っているとかして、もう一つのボリュームのデスクトップの表示が出ているって言うことは無いですか？
そのボリュームの「デスクトップ」を捨ててしまえば出なく成ります
私の場合はなぜか別名で保存で使った事のないiTunes Musicの中のアルバムフォルダーが2個表示されたりもしてます

FileVaultの設定をしていますか？
ユーザーフォルダの中には、本来スパースイメージが１つだけ存在しますが、この他にデスクトップフォルダなどが混在すると『保存』操作の際に２つのデスクトップフォルダが出現します。
１つは本来のデスクトップですが、もう一つは余分にできてしまったデスクトップフォルダになります。
この現象が起こる理由はわかりません。
私の場合は、ある日起動すると全く新しいアカウントの状態になったことがあり、すぐに再起動してもとの状態になり安心して使用していて、この現象に気づきました。

はにさん
の方法でゴミ箱に入れてみましたが、突然safariが落ち、mailが落ちたので、元の場所に戻しました。
が、起動してログインすらできな状態になってしまいました。
（ログインしても、デスクトップが表示されない）
たまたま、別のアカウントを作っていたので、そこからログインして、自分のアカウントのデスクトップファイルをコピーしましたが、別アカウントから私のアカウントに表示されるデスクトップの内容は、/.（ユーザ名）/デスクトップ/の内容でした。ですので、自分のアカウントの本来のデスクトップやその他の書類ファイルなどの情報は復旧できていません。
別アカウントから、/ユーザ/（ユーザ名）/いかにある、スパースメージファイルが壊れているようなのですが、これが重大な問題点だとなんとなく思う訳ですが復旧への道はあるでしょうか。
かつみさんがご指摘された、パーティションの分割などはしていません。
茂木さん、FileVaultは設定しています。ただ、問題発生前に「自動ログインしない」にチェックをいれて、直後にチェックを外したものの、起動の度にアカウントを選択しなければログインできないようになっていたのでおかしいなと思っていたらこの有様です。

とりあえず、FileVault はオフにしてログアウト、ログインしてみてください。次に、自分のホームの名前を変えて（例えば、namae -> name_old とする)、ログアウト、ログインします。すると、デスクトップとライブラリーのみの新しいホームができます。この状態で、sparceimage file をダブルクリックしてパスワードを入れると、前のホームの中身が見えるようになりませんか？うまく見えれば、中のもを新しいホームに移せばいいのですが。全て正常になってから、またFileVault をオンにすればいいです。
見えないときは、残念ながら諦めてバックアップから戻すことを考えてください。暗号化された sparceimage file が壊れているということで、壊れてしまった暗号化ファイルを戻す方法はありません。

ホームフォルダは新しいものができましたが、spraceimage fileは壊れているので、復旧は難しそうですね。
１週間ごとにフォルダに保存しておいたので、デスクトップフォルダに残っていた１１月末ごろまでの過去のファイルは確保できましたが、本来のどこかに失われてしまったデスクトップに散らかしておいた最近最も使用するファイルが失われてしまったので、困ったものです。
あきらめるしかないようです・・・。
なんとか、ログインだけでもできないものでしょうか？

アップルのサポートさんに電話してみたところ、万に一つの万に一つの可能性で復旧できるかもしれないが、あきらめるしかないと、サポートさんと私との間で、合意いたしました。
ターゲットディスクモードで中身を見て、だめならアーカイブインストールしてみます。
みなさん、ご丁寧にありがとうございました。

遅ればせながら、私もitopeさんと同じような症状（私の場合デスクトップがフォルダではなくデスクトップのアイコンのまま）だったのですが、ユーザー階層のLibraryの中のPreferencesの中のcom.apple.sidebarlists.plistを任意の場所に移動し、ログアウトした後再度ログインすることで復旧しました。しかる後plistは削除。当然のことながらサイドバーの表示はデフォルトにもどってしまいますが、保存時に出てくるデスクトップは一つになりました。
以上参考まで。