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回答でなくてすみません。
お書きになられていない点で、
・プロキシを利用は？
・モデムのリセット
・ルータのリセット
・セキュリティソフトの種類とその無効での結果
・ファイアウォールの再設定
などはどうでしょう？

アプリケーション＞ユーティリティにあるネットワークユーティリティを立ち上げると、ネットワークインターフェースの統計情報を表示します。ここのエラーが多いということはありませんか？正常なら、エラーゼロになるはずです。
アプリによらずネットワークが遅い、ルータ外しても改善されない、LANケーブル変えても改善されない、ということですとmac mini のネットワークインターフェースの故障かも知れません。起動可能な外付ディスクにまっさらなシステムをインストールしてこのディスクで動かしてみるとどうなんでしょう。これでも改善しなければネットワークインターフェースのハード的な故障の可能性が非常に高いと思います。
ネットワークインターフェースの故障かどうかは、ルータのアドレス向けにpingを打ってみて(ターミナルから、ping 192.168.1.1 とかしてみる(アドレスはルータのラン側のアドレスにする)、あるいは、ネットワークユーティリティからも出来ます)パケットロスがどれぐらいあるか見てみると分かるかも知れません。正常なら、数％以下(直近のルータまでなら、普通は0％)、問題があるならパケットロスは数十％以上にもなります。

他には，DNSサーバのIPアドレスシステム環境設定のネットワークに直接、指定してみるとどうかな？

コントロールパネルのネットワークで新しいネットワーク環境を作成してみてはいかがでしょうか。
それでだめなら、テスト用の新しいユーザを作って試してみる。

こういちさん　BINGO!かも...
/Library/Preferences/SystemConfiguration/
この中を全部捨てて再起動後に設定し直すと良いかも知れません。
# この中に問題を抱えていると新しいユーザでも同じ状況に...

ご指摘ありがとうございます。
・プロキシは設定していません。
・モデム／ルータのリセットは試みましたが改善しませんでした。
・セキュリティソフトは導入していません。
・ファイアウォールは、無効→有効を何度か繰り返していますが改善しませんでした。

はに様
ご指摘ありがとうございまsた。
ネットワークユーティリティの Info では、送信エラー、受信エラー共に０、
また衝突も０で問題ないように見えます。
念のためルータにpingを50回売ってみましたが、パケットロスは０でした。

こういちさん、ぴっぴさん
ご教授ありがとうございました。
教えていただいてた項目、すべて実行してみましたが
残念ながら、症状は改善されませんでした。
いっそのことシステムの再インストールすら考えていますが、
その前にSecurity Updateを削除する事は出来ないでしょうか？

abcdefgさん
ご教授ありがとうございました。
試してみましたが、症状は改善されませんでした。

> いっそのことシステムの再インストールすら考えていますが、その前にSecurity Updateを削除する事は出来ないでしょうか？
非常に危険なアイデア...　Fileが様々な場所に入ってますので、それを外すとなると...　途中でOSXがCrashして二度と起動出来なくなる可能性はあると思いますが...　試してみます?
Combo 10.4.11, Security Update 2008-008を当て直すほうが良いと思います。あるいはTigerをArchive and Installでも...
# この様な摩訶不思議な状況だとbackupを取られてHDDを初期化されたほうが良い結果になるかも知れません。Dataの取り込み、設定や3rd partyなど一から見直す必要があると思います。
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Network関係に問題を抱えていて、Security Update 2008-008を当てたことにより問題が出たのだと思います。

>Security Updateを削除する事は出来ないでしょうか？
ping でパケットロスゼロなら、ハードのトラブルではありません．
あとはDNSの設定が悪い、ぐらいしか考えられません．でも直接プロバイダーのDNSを指定してもダメなら、システムのネットワーク関係の基本ソフトがおかしくなってしまっているということでしょうか．
もしそうなら、初期化再インストールすれば直ります．ハードディスクの中身に未練がないなら、そのままやってしまえばいいのですが．
未練があるなら、まずバックアップをしておいてから、ということになり、外付けドライブが必要です．もし、起動可能な外付けドライブがあるなら、ます最低限のシステムだけインストールしてみてネットワークがどうなるかみて見ればいいのですが．
インストールしたセキュリティアップデートを外すことは出来ません（初期化再インストールして、問題のセキュリティアップデートをしないでおく方法しかない）．
ダメ元で、ということなら、10.4.11のComboアップデートを当ててみるのも手です．もし、壊れたネットワーク関係のファイルがComboアップデートで新しくなれば、正常になるかもしれないからです．．
でも、いろいろ悩んでいるより、初期化再インストールが一番速くて確実です．

http://17.149.160.10/
http://203.216.247.249/
などとアドレス直打ちでアクセスしても遅いでしょうか。

>はにさん、ぴっぴさん
アドバイスありがとうございました。
お返事遅くなり申し訳ありません。
そうですねぇ、やはり面倒でももうクリーンイストールした方が
いいかもしれません。
ただ、Security Update のインストールはその後何度かしているのですが、
その際気付いたことがあります。
インストール自体は滞りなく終わり、再起動、というところで何気なく
インストールログを開いてみたら、
./Applications/Safari.app
./System/Library/Frameworks/WebKit.framework
./System/Library/Frameworks/WebKit.framework/Versions/A/Frameworks/WebCore.framework
は、より新しいバージョンが存在するためインストールされなかった、
という記録があったのです。
この３点をインストーラーから抜き出して入れ替えれば、症状が改善される可能性が
あるでしょうか？
ご意見いただけると助かります。

たまちゃんさん
アドバイスありがとうございました。
アドレス直打ちもいくつか試してみましたが、
読み込みが引っかかる症状は改善されませんでしたので、
DNSがらみではないようです。