ディスクによってアクセス権の名前が違うのは？

出来なかった方は「＊＊＊＊＊（自分）」（＊は私の名前のローマ字です）と「everyone」でした

このパーミッションはどうなってますか？

正常なら、「＊＊＊＊＊（自分）」の方は、読み／書き、everyone の方は読み出しのみと思いますが。

この状態なら、（少なくともうちでは）、おっしゃるようなことにはなりません。

あと関係ありそうなこととして、この＊＊＊＊＊（自分）の方のアカウントは管理者に成れるアカウントでしょうか？

あと、書き込みの出来ないHDDは、同じMac Pro でフォーマットしたものでしょうか？

違うマックでフォーマットしたものだと、（ユーザ名が同じでも、IDが異なるために）、おっしゃるようなことになるかもしれません。（本当をいえば、ちょっと苦しい説明、おかしなところがある、です）

一番考え易いのは、書き込みの出来ないHDDでは、パーミッションが変わってしまっているということです。セキュリティのためとか考えて、読み／書き禁止にしたりしてませんか？自分も読み書き禁止にしていれば、当然おっしゃるようなことになります。

everyoneの方は読み出しのみです

＊＊＊＊＊（自分）の方はどうなってますか？

（自分)の方は読み/書きです。

なのに書き込めないというのはおかしいですね。

ターミナルで、

ls -l /Volumes

とするとどう出ますか？

公開したくない個人名などはxxx で置き換えるなどしてください。

ACLがトラブルを起こしているのではないでしょうか。

staffというのはアドレス帳の分類で作ってあるものですが、以前、HDDのアクセス権の欄に現れていたので削除

このリストに出て来るstaff はアドレス帳のものとは違うと思います。システムに最初から用意されているグループです。こういうのを勝手に削除したり変更してはいけません。

あと、うちのと比べると、Macintosh HD 以外、グループパーミッションが全く設定されてないのが気になります。

ターミナルで、

sudo chmod 775 /Volumes/File

とすると、File のディスクに書き込めるようになりませんか？

sudo としてますので、これを実行すると管理者パスワードが要求されますので、キーボードから入力します。このとき、画面には何も表示されず、カーソルも動きませんが、きちんと入力されてますので、入力したらreturn キーを押してください。sudo、chmod、775 の後にはそれぞれ半角のスペースが入ります。

あと、各ディスクの情報を表示させた場合、共有とアクセス権のところの一番下にある、このボリュームの所有権を無視、のところのチェックはどうなってますか？

なお、このパーミッションから見る限り、ACLは設定されてないようですので、関係ないです。

sudo: can't open /etc/sudoers: Permission denied

sudo を実行するのに必要なファイルが壊れてて、実行できないというエラーです。

よほどひどい状態になってないとこんなことは起こらないと思いますので、システムそのものがまともじゃないように思います。

バックアップされてシステムをクリーンインストールされた方がよいように思います。

sudo を実行するのに必要なファイルが壊れてて、実行できないというエラーです。

もしくはOSの根幹のアクセス権がグチャグチャになってるのかも…。

ディスクユーティリティのアクセス権の修復ではこの辺りは修復できないのかな…。まぁ、ダメ元でアクセス権の修復をしてみてsudoを試してみるとか。

でも、ここまで来ると、確かに、

バックアップされてシステムをクリーンインストールされた方がよいように思います。

ですね…。

OSXの基本、アクセス権、ACL, 拡張属性などをお勉強されたほうが良いです。思い込みで弄ってもOSXには太刀打ち出来ません。

良い機会ですのでご自身で頑張って修復して下さい。