システム環境設定　起動ディスクにMacintosh HDの表示が出ない

ディスクユーティリティで、ディスク全体を選択して、ディスクの修復を試してみてください。

windows のユーティリティは、macosx の起動のことは知りませんので、一部壊れたのかもしれません。

起動ボリュームじゃなくて、HDD全体で修復しましたか？

外付けのHDDから起動するなどしないと、内蔵HDD全体の修復は出来ませんが、そうしましたか？

ディスクユーティリティでは、どんなメッセージが出ましたか？

＞ HDD全体の方を選択すると、アクセス権もDiskの検証もグレー表示

そうですか。おかしいですね。うちのやってみると、外付けから起動すれば、内蔵ディスクの修復出来るのですが。

> バックアップを取り、移行アシスタントでクリーンインストールしたHDDに移行したら、結局同じ症状になるのでしょうか？

ディスクをフォーマットして、クリーンインストールすれば、OS本体は新たにインストールしたものになりますので、移行アシスタントで前の内容を移行してもかなり高い確率で大丈夫と思います。

ただ、option 起動は正常にできるのなら、しばらく（大きな不具合が出ない限り）、今のまま使うのもありとは思います。