アカウントが勝手にオフラインになります。

そのアカウントのメールはPOPですか？、IMAPですか？

基本的には、サーバに接続するのは、アクセスしているときだけです。それ以外の時はオフラインです。ただ、設定された時間ごとに自動でアクセスするので、ずっと繋がっているように見えるだけです。なので、Mail.app の自動接続がおかしいことになります。

パスワードを入れ直さないといけない、というのも何かおかしいです。POP、IMAPいずれにしろ、普通は、Mail.app が覚えていて（保存されていて）、必要なときに読み出されて使われます。なので、いちいち入力する必要はないのですが。

ということで、ネットワークの問題とかではなくて、Macのシステムの方がおかしいように思えます。

アクセス権の修復や、ディスクの修復をしてみてはどうでしょう。でも、ホーム内だと（Mail.app の設定などはホーム内にある）、アクセス権の修復も出来ませんけど。

Macに別アカウントを作り、問題のメールアカウントを設定してみて同じ不具合が出るかどうか調べてみると何か分かるかもしれません（IMAP の時だけです。IMAP ならどれだけ受信しようがメールはサーバ上に保存されてますので、無くなることはありません）。

どのアカウントかを書いてもらった方がヒントになるかも。

例えば一部のプロパイダでは複数のデバイスからの同時アクセスを認めていません。例えばiPhoneでDTIのメールサーバにアクセスした直後には、macやPCから同じアカウントでサーバにアクセスするためには数分待たなくてはいけません。