アップルTVをブラウン管につなぐ

HDMI端子が無ければ（無いと思うけど）、無理では？

HDMI をビデオと音声に変換するものがあれば使えるかも。そのテレビにビデオ入力端子があるのが条件です。HDMI をビデオと音声に変換するものは、

http://www.amazon.co.jp/LKV381-Composite-S-Video-Converter-HDMI%E5%87%BA%E5%8A%9B%E3%82%92S%E7%AB%AF%E5%AD%90%E3%80%81%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%9D%E3%82%B8%E3%83%83%E3%83%88%E5%87%BA%E5%8A%9B%E3%81%B8%E5%A4%89%E6%8F%9B/dp/B006W2BNHE

とか、

http://www.amazon.co.jp/LKV384-Component-Converter-HDMI%E5%85%A5%E5%8A%9B%E3%82%92%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%B3%E3%83%88%E6%98%A0%E5%83%8F-%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%AA%E9%9F%B3%E5%A3%B0%E3%81%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%81%97%E3%81%A6%E5%87%BA%E5%8A%9B%E3%81%99%E3%82%8B%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC/dp/B006JWNR6C

とかで売ってはいます。

HDMI - コンポジット変換器を使えば、一応は可能です。

Amazonで、AppleTVで使用しているというレビューがある製品の例

ただし、私が実際に試した訳ではないので、購入を検討する場合は、自己責任でお願いします。

また、HDCP等の問題から、映像が映らない場合もあり得ますので、この点もご留意下さい。

Apple TV (2nd generation)：Apple TV と HDCP

ブラウン管の古いTV、ということなので、ついているか分かりませんが、HDMIをコンポーネントに変換し、コンポーネント端子で繋ぐのも一つの手かもしれません。

Amazonあたりで検索してみると、いくつか出てきます。

これも、粕谷 明さんの書き込みと同じくHDCP等の問題から映像が映らない場合もあるかもしれません。

LKV384で使っています。

接続後にmunuボタン＋上の長押しで出力解像度を合わせればok。