データが反映されません！

私が使っていたiPod touch5の調子が悪かったので、交換しました。　

交換後バックアップの復元はせずに、Game Centerにだけログインして、

前までやっていたゲームを再インストールしました。

しかし、GameCenterにログインしていたのにも関わらず、

その前までやっていたゲームのデータが反映されていませんでした！
また、他のゲームについても気になったので、同じような手順をやってみたところ、

そのゲームも同じように反映されていません。

前までやっていたデータを引き継ぎ再度同じ状態で始められる方法はありませんか？