外付けHDD、タイムマシーンのバックアップ用、にバックアップされているのか？

ディスクユーティリティで当該HDDを認識出来るか確認。認識出来るのであればマウントを試みる。

　当該HDDごと修理業者に依頼した方が早いと思う。

もしくは友人である程度PCの知識を持っている人はいませんか？

ちょっと変な方法ですが、その調べたい外付けHDD を起動するMac につないで起動時にoption キーを押しているとスタートアップマネージャーと言うのが表示されます。そこに何が表示されるかでTime Machine のバックアップが有るかどうか判断できるかもしれません。

追記

ご参考にどうぞ。

Mac Basics：Time Machine で Mac をバックアップする方法

アプリケーションフォルダ内のユーティリティフォルダの中に、ディスクユーティリティがありますから、起動して下さい。

その上で、左側のデバイス/ボリュームの一覧の中に、当該HDDが表示されるかどうか確認してみて下さい。

なお、USBやFirewire、Thunderboltで接続する機器は、電源や接続する手順は気にしなくて良いです。

(接続を解除する場合は、必ずアンマウントしてから電源OFF or ケーブルを外して下さい)

何も表示されないようなら、HDDの故障 or 重度の問題を抱えている状態の可能性があります。

上段の「デバイス」だけ表示されるようなら、ファイルシステム等に問題があって、正常にボリュームが認識出来ない状態です。

デバイスもボリュームも表示されるのなら、一応は認識出来ています。

どの状態でしょうか？

参考までに、私の使用しているMac miniのディスクユーティリティだと、こんな感じです。

複数の人に対して、まとめて回答しちゃって構いませんよ。

上記の方法をやる場合、繋がっているHDDを抜かなくていいのですか？

また立ち上がった後にひとつバックアップ用HDDは繋がったままの状態でもうひとつのHDDを

つなげてはいけないでしょうか？

複数のHDDを繋げても大丈夫ですよ。

私のMac miniの状態を見ても解るように、4台のHDDが常に繋がっています。

(それ以外に、数十台のHDDを用途に応じて接続しています…。)

要は、複数のHDDを繋いだ場合に、それぞれのHDDを間違えたりしなければ、同時に繋いでも構いません。

また、正常なほうのMacに繋いだ事が無いHDDを初めて接続すると、TimeMachine用に使用するかどうかメッセージが出ますが、必ず「TimeMachine用として使用しない」ようにクリックして下さい。

そうしないと、TimeMachine用に初期化されちゃったりしますので。

「アプリケーションフォルダ内のユーティリティフォルダの中に、ディスクユーティリティがありますから、起動して下さい。」

とありますが、どの状態でそれをおこなうのでしょうか？

今、壊れていないマックにはこのマック専用のタイムマシンバックアップ用HDDが繋がっています。

そして壊れたパソコンにつないであったHDDは外してあります。

この状態で壊れたPCにつないであったHDDのコンセントを入れ、USBを差し込みディスクユーティリティを起動するのでしょうか？

そのとおりです。

両方のHDDを繋いでみて、ディスクユーティリティで両方とも認識されるか確認してみて下さい。

なお、ディスクユーティリティは、接続する前に起動していても構いません。

新しいディスクが検出されれば、左側のリストに追加されます。