Airplayアイコンが消えて、Airplayができなくなりました.

iPhone、iPad、および iPod touch からの AirPlay および AirPlay ミラーリングの問題を解決する

ひょっとしてiOS 8ですか？

私のiPhoneはiOS 7なので、AirPlayのアイコンがビデオアプリ上に出るのですが、

iOS 8にしたiPadでは、ビデオアプリでAirPlayのアイコンが出なくなっているので、仕様かも。

で、解決手段は、コントロールセンター（画面下からスワイプ）を出せば、AirPlayの項目があるので、タップすればOKのはずです。

iOS8であれば、コントロールセンターのAirPlayかミラーリングをタップした後に、スライドで出てきたと思います。