そうですね。xyさんがかかれたように、PCかMacがあれば、その方法が早くて確実です。
Mail (Yosemite): メールボックスを読み込む/書き出す - Apple Support
- 現アカウントの保存しておきたいメール/メールボックスを一つにまとめて、標準のもの(受信箱、inboxなど)と被らない名前にする。
- メールボックスを書き出す。
- メールボックスを読み込んで個別のメールを読めるようにする
- メールボックスを新アカウントにドラッグ&ドロップでコピーする。
もしくは、現アカウントと新アカウントが同時に使えるなら、保存しておきたいメールボックスごとに
メールボックスを新アカウントにドラッグ&ドロップでコピー。
でもいけますが。
注:メールの量とインターネット回線の速度次第で処理時間も変わります。
iPhoneだと、標準のメールアプリだけでは、メールボックスごとに
1. 新アカウントにメールボックスを作成
2. 現アカウントのメールボックスを開き、「編集」をタップしたのち、全メールを(ひとつひとつ)選択して「移動」をタップ
3. 移動先として 1 で作成したメールボックスを選択
ということになりそうです。移行が簡単にできるiOS用メールアプリもあるのかもしれませんが、私は使ったことはないです。