iPhotoからの新しい写真アプリがない

失礼致します。

「iPhoto」「iMovie」「GarageBand」等の「iLife」系アプリケーションは、OS X に付属するアプリケーションではなく、購入した Mac に付属するアプリケーションですので、OS X をクリーンインストールした場合は、再インストールする必要が有りますが、再インストールする方法が分からないと言う事でしょうか？

「」メニュー ＞「App Store」＞「購入済み」タブをクリックすると表示される下の画像の「サインイン」の部分をクリックして下さい。

（私の環境は OS X El Capitan（10.11.6）なので、OS X Mountain Lion（10.8.5）とは若干表示が異なるかも知れません）

「iPhoto」購入時、或いは初回起動時に入力した Apple ID とパスワードを入力して、「サインイン」ボタンをクリックします。

MacBook Air（Mid 2013）に「iPhoto」がインストールされていない状態であれば、「購入済み」の「iPhoto」の右側に有る「状況」ボタンが「インストール」と表示されているはずですので、クリックして「iPhoto」を再インストールして下さい。

App Storeアプリの「アップデート」から、

OSX El Capitan(10.11.6)にアップデートすれば「写真」アプリが使えるようになります。

現在利用のMacBook Air（2013年式、OS10.8.5）を初期化してiPhotoが消えました。調べると今後は写真アプリに変わった様ですが、現状のMacBook Airには表示されませんので、どうしたら利用できるのでしょうか？

10.8.5では「写真」アプリは使えません。

そもそも、バックアップはとってなかったのでしょうか？

バックアップがあれば、初期化後に復元できるのですが…

初期化でiPhotoがなくなったのであれば、AppStoreの購入済みからiPhotoをDLできませんでしょうか？

もしくは、El Capitanにアップグレードすれば、「写真」アプリが使える様になります。

「写真」アプリは10.10以降のMac OSXに添付されているものです。10.8では使えません。

iPhotoをもう一度インストールしてください。

初期化をしてインターネット復元をした場合、購入時にインストールされていた一部のアプリケーションは手動でダウンロードしてインストールしなければなりません。

iPhotoを再度ダウンロードするには、App Storeにサインインする必要があります（おそらくは、インターネット復元の際に使ったApple IDで）

なので、初期化してiPhoto等のアプリケーションがないのは当然のことなのです。