iPhone4を初期化した後にアクティベートしようとするとエラーになります

とりあえずsim カードを乾いた布で拭いてみてはいかがでしょうか。抜くときに中に落とさないように気をつけてください。

解決方法になるかわかりませんが、まずは公式の情報から。

iOS デバイスを Windows パソコンに接続したときに「0xE」エラーが表示される場合 - Apple サポート

とはいっても確実ではなく、同様の問題を抱えたユーザは少なくないようです。

https://discussions.apple.com/thread/6513270 - Error 0xE8000004 when trying activate iPhone 4 (GSM)

最初の書き込みは2年前の2014/8（iPhone 4向け最後のiOS、7.1.2が出た直後）で、最新は先月です。

残念ながら明確な対処方法の書き込みはありませんが、参考までに。

（解決した報告もあるにはありましたが一般ユーザにはお勧めできない方法でした。興味があれば「iphone 0xE8000004」で検索して見て下さい。）

なお、使用されているiPhoneのiOSのバージョンや、PC/MacのOSバージョン、iTunesのバージョンは何でしょうか。

上記の報告はiOS 7.1.2でのものなので、itiroututimuneさんと違えばUSサイトの情報は役立たずということになるかもしれません。

＃ ちなみにUSサイトの書き込みの中には、iTunesの更新で解決したという人もいれば同じバージョンでも発生したという人もいました。

以上、ご参考まで。