画面焼け？シミ？

写真がボケていて判断が難しいですが、可能ならGenius Barや正規サービスプロバイダに持ち込んで見てもらったほうが良いと思います。

>最近電池消費もすごく早いです。朝触って鞄に入れて4時間後のお昼に触ったら1%とか。

設定のバッテリのところで、バッテリ消費しているアプリを調べることができます。

暴走してバックグラウンドでバッテリを食っているものがあるかもしれません。

バッテリ周りのトラブルと画面トラブルとの関連について言えば、2つの可能性があります。

ひとつは、急速な放電によるバッテリの発熱で液晶がダメージを受ける可能性で、もう一つはバッテリの膨張による圧力で画面表示に異常が生じるというものです。異常な発熱があるのか無いのか、横から見て画面が盛り上がっていたりしないかどうか、といった点もチェックしてみたほうが良いかもしれません。

なお、機種が書かれてませんが、iPhone 6sだとバッテリリコールもされていますので、確認してみてください。

https://www.apple.com/jp/support/iphone6s-unexpectedshutdown/

電源を切っても見えるのでしょうか。

なるほど、真っ白な画面でも見えるにですよね。もしそうなら液晶の破損であることには間違いなさそうですね。