左手首に装着しているのですが、設定を右手首に変更する方法はありますか。

こちらですね。

https://help.apple.com/watch/?lang=ja#/apd0bf18f46b — 言語と向きを変更する - Apple Watch ユーザガイド

装着する腕を変える／Digital Crown の向きを変える： Apple Watch を反対の腕に移したい場合や、Digital Crown を逆向きにしたい場合は、向きの設定を調整します。この設定を調整することで、手首を上げて Apple Watch のスリープを解除したり、Digital Crown を回したときに思い通りの方向に項目が動くようになります。「設定」App を開いてから、「一般」＞「向き」と選択します。iPhone の「Apple Watch」App でこの変更を行うには、「マイウォッチ」をタップしてから、「一般」＞「ウォッチの向き」と選択します。

変更方法は既に書かれていますので、

>っていうか、どちらに手首に装着するのかはどこに影響するのでしょうか？

動作を検出するときに左右で動きが鏡面対称になりますから、設定と異なる腕に装着していると誤検出につながります。例えば、時計を見る動作の腕のねじりの方向が逆だと、時計を見たとはみなされず画面が点灯しないということになります。

操作に関しては、ボタンの左右(要するに文字盤の天地)が変われば竜頭の回転方向が反対になります。これは腕の左右とは独立に設定できます。自分は右腕着用ですが、ボタンは右になるようにしています。ボタン機能に差はありません。

一般〜ウォッチの向きで変えることができますよ！

右か左かと言う場合に、本来は利き腕の問題があります。ところがこの利き腕と言うのは個人の環境によって、各動作につき険しく変動します。寝ている時の利き腕の がどちらかは、ものすごく判断が難しいです。