Apple IDの更新ができない

サーバーに問題があると出ているのでAppleに連絡して見る他無いと思われます。

urchin さんがお書きの通です。Apple Store では正常だったようですのでハードウェアの障害とは思えません。そうなるとApple 側との問題となりますのでサポートに連絡するしかないと思います。

App Storeで新しい無料のアプリを何でもいいので入手を押してください。

するとApple IDのログイン方法で、既存のApple IDでサインインを選択

＞Apple IDとパスワードを入力して、名前、住所、支払い方法など入力していただいく。

その後サインインできるので、再度アプリをインストールしてみてください。