アプリを起動すると「Appstoreに接続できません」等のメッセージが表示され利用できません。

試した事をお書き下さい。同じこと書かれずに済みます。それとWi-Fi でSafari からホームページはみられるのですよね。

Apple 系だけがダメなのですね。他のWi-Fi でもダメでしょうか。

またiPhone のIP アドレスの取得はDHCP でしょうか。

Wi-Fi接続時のDNSの設定は妥当でしょうか?

後、同じWi-Fiルータに別の方のiPhoneを接続した時に、その方のiPhoneがApp Storeに入れるのと同じWi-Fiルータを持っていて、それならApp Storeに入れると言うのでは意味合いが異なります。

前者なら入れないiPhoneのDNS設定見直し、後者ならWi-Fiルータや、それがモバイルWi-Fiルータならキャリアの設定等。