osx el capitanにてアプリケーションの起動した時間、終了した時間を調べる方法はありますか？

Xcodeを使えるのであれば、NSWorkspace.didTerminateApplicationNotificationを使って、各アプリケーションの終了時間を得ることができます。（El Capitanでは最新のXcodeは使えないので若干書式が違います）

実際に有用なアプリケーションにするには、（ni_ki氏が指摘しているように）launchdが制御する、Cocoaフレームワークを使ったバックグラウンドアプリ（LSBackgroundOnlyやLSUIElement）か、Foundationフレームワークを使ったデーモンやエージョントになると思います。

失礼致します。　

『バックアップ』と『システム環境設定』とが、どの様に関係するのでしょうか？　バックアップというのは何か特別なアプリケーションを使って実行しているのでしょうか？　どの様なデータのバックアップになるのでしょう？

AppleScriptのSystem Eventsを使うことで、稼働中のプロセスの名前を得ることができます。　定期的に名前をチェックすることで、特定のアプリが起動したり、終了したことを確認できます。　正確な時間ではなく、おおよその時間はわかりますよ。

＜ユーティリティ＞フォルダにある コンソール.app を利用すればログが簡単に見られるところまでは、わかるのですが ... 。

コンソールの検索窓にbackupdを入力して表示されるものを眺めているは不可ですか。

「バックアップが終了した時間」と「バックアップを落とした時間」はどうちがうんですか？

何かの課題?

私の概念だと｢落とす｣も｢終了」も同じ扱いです、重箱の隅を楊枝でほじくるなら、前者は人が介する事が多い様な。

で、｢落とす｣を人が介したのを指す場合、⌘+q押下で終了処理が走った事をログに残さない限り分からないのでは。

ログを残すかどうかは各アプリに委ねられているので、すべてのアプリについて開始終了時間を把握するのはムリなんじゃないでしょうか。

例えばどのアプリケーションでしょうか。

それなら設定ファイルを監視する方法を考えてはいかがでしょうか。ちなみに、できる方法があるらしいのですが、私はできません。launchd あたりで監視するようです。