外部HDの空き容量がバックアップで埋め尽くされそうなのですが、動作やファイルの保存に支障が出てくるのでしょうか？

＞最近OSのアップグレードを行い、10.8.5から10.13.2にしました。バックアップの容量が増えたのはそれからかもしれません。

そう思います。古い OS と新しい OS の間が離れすぎているので、新しい OS 全体をバックアップしたのだろうと想像されます。

＞対処が必要かどうか、教えて頂けますでしょうか？

Time Machine バックアップのことであれば、バックアップ先の空き容量が少なくなると自動的に古いバックアップから削除して容量を確保してくれます。 OS X Mountain Lion 10.8.5 環境に戻すことが無いのであれば、なんら問題無いかと思います。経験的には、バックアップ先容量は Mac mini の内蔵ドライブの倍以上あると良いかと思います。

Time Machine でバックアップということで間違いないでしょうか。もしそうなら他の方もお書きですが、OS をアップグレードするとフルバックアップされます。OS は15GB 程度しかないのですがユーザデータやインストールしてあるアプリケーションなど、すべてバックアップされますので倍の容量を必要とします。

また何かの軽微なトラブルでもフルバックアップする事があります。

それで残りの空き容量が10GB と少ないですので、そのままだと近々前のOS のバックアップは消去され新しいバックアップだけになります。前のOS のバックアップが必要な場合は木藤 さんもお書きのようにHDD を容量に大きなものに帰る必要があります。逆に前のOS のバックアップが不要なら、そのままでも最新のバックアップは問題なく保持されます。

ところでTime Machine はその性質上、バックアップ容量の3 倍程度のHDD を使った方が良いらしいです。バックアップ元の容量はどのくらいでしょうか。

バックアップをTime Machineで行っているなら、バックアップ先ディスクの空き容量が少なくなると古いバックアップを削除して空き容量を確保します。

その間は実質、バックアップはできませんので、バックアップが終了する迄に時間がかかる事になります。

そうなる前にバックアップ先のディスクを、より大容量のものに換える事をお勧めします。