以前使用してたiPhoneからiCloudはログインできるのか

2ファクタ認証に対応していないOSやアプリではコード入力画面は表示されません。

その場合パスワードに続けてコードを入力してください。

例：パスワードが「ABCDEF」でコードが「123456」の場合、パスワードとして「ABCDEF123456」を入力

App 用パスワードを作成・利用するとか、iOS 10.3 または macOS Sierra 10.12.4 より前のOSが稼働しているデバイスで作成したApple IDであれば一時的に2ファクタ認証をオフにするのも手かもしれません。オフのままにするのはセキュリティ上、お勧めできませんが。

２ファクタ認証についてはこちらを参考にしてください。

Apple ID の 2 ファクタ認証 - Apple サポート

ToMiさんが書かれているやり方で入力できる筈です。

当方のiPhone 4/iOS 7.1.2にてiCloudへのサインインが成立しています。

参考

iCloud のシステム条件 - Apple サポート

何れにしても、iCloudは写真のバックアップには向かない（全体のフルバックアップで、元に戻すのにも対応バージョンのiOSデバイスが必要）ので、別の方法を考えた方が良いのでは。

10GB と言うのが問題ですね。iCloud の容量を購入しないとサインインできてもバックアップできないのでは。

Mac やPC で写真を読み出してしまうとか。お持ちでないなら友人知人からPC など借りて読み出せないですか。

　一応バックアップと復元ならiOS5以上で対応となっていると思います。

サインインできない時になにかエラーダイアログはでませんか？

保存したい内容は写真くらいですが、10GBほどになります。

ぶっちゃけ10GBの写真のバックアップと復元をiCloud経由で行うのはオススメしません。

一旦PCかMacに写真を取り込み、新しいiOSデバイスに再度同期するのがいいと思いますよ。

自分の環境で使える方法を探す。私には貴方の環境がわからない

2ファクタ認証にしていて、確認コードをパスワードの後ろに上手く入れれないと言う事は無いかな。