iPhoneの写真をiCloudに全て閲覧できるようにしたい

iPhone5で新たに撮影した写真はiCloud.comの写真Web Appに表示されないということですね。　その場合は、iPhone 5のiCloudフォトライブラリーが正しく機能していない様です。　OSのアップデートに必要な容量が足りない状況とのことでしたので、iPhone 5本体のストレージを確認してみて下さい。　また、iCloudストレージの容量にも十分な空きがあるかどうかを確認ししてみて下さい。　iPhone5に保存されている写真の容量が、iCloudストレージの空き容量よりも大きければ、iPhone5の写真はiCloudへアップロードされないと思います。

また、iCloudフォトライブラリーの設定画面で、オリジナルの写真をiPhoneにダウンロードせずに、ストレージを最適化する項目があると思いますので、それを有効にします。　→ iCloud フォトライブラリ - Apple サポート

度々、失礼致します。

iCloudフォトライブラリーは、iOS 10.3以降がインストールされているiPhoneで利用できるので、お使いのiPhone5でも利用できるはずです。　

『PCでiCloudフォトライブラリーに入っても』とのことですが、お使いのパソコンはWindows-PCでしょうか？　その場合、ファイルエクスプローラーに表示される『iCloud Photos』のフォルダに入っても、という意味でしょうか？　それとも、ウェッブブラウザでiCloud.comのサイトにサインインして、写真Web Appを表示しても、という意味でしょうか？　

前者の場合、新しくiPhoneで撮影した写真が当該フォルダにダウンロードされます。　後者の場合は、iPhone5でiCloudフォトライブラリーの設定がうまくできていないのかもしれません。

iPhone5で新しく写真を撮影した時に、それが、iCloud.comの写真Web Appに表示されますか？　

表示されない場合は、iPhone 5でiCloudフォトライブラリの設定を一旦オフにして、再度、オンにしてみるとどうでしょうか？

表示される場合は、iPhone 5のカメラロールに写真が残っていて、iCloudフォトライブラリにコピーされていない状況だと思います。　その場合は、カメラロールの写真を、iCloudフォトライブラリのアルバムへ移動してみるとどうでしょうか？

ご説明を頂きまして、有難うございます。

お使いのiPhone 5について、最後に試せることとしては、デヴァイスのリセットだと思います。　iTunes.appの方へデヴァイスをバックアップした上で、iPhone 5をリセットして、バックアップから復元する場合と、復元はせずに、新規のデヴァイスとして、リセットする方法の2つを試すことができそうです。　それぞれで、iCloudフォトライブラリを設定した場合に、正しく機能するかどうかを確認してみると良いと思います。　

iCloudフォトライブラリーを使う様に設定してみて下さい。

→ iCloud フォトライブラリ - Apple サポート

お使いのiPhone5のOSがiOS 6.1.4と表示されていますが、あっていますか？