寒いと電源が落ちる

iPhone、iPad、iPod touch を許容可能な動作温度に保つ - Apple サポート

ここに書かれているほど低温になるとそのような現象が出るかもしれません。

何年か前に試した限りでは例えばバッテリー50 パーセントで本体が10度切ると、お書きのような症状が出ます。逆に環境温度が低くても動画再生やゲームなどやっていると、冷えないので使えたりします。

ということで、本体温度は何度くらいでしょうか。

その症状だと温度が原因か微妙ですね。10度切るくらいになるとiPhone は充電を止めるので、止まったのちバッテリー保護のため電源が切れたと考えると説明がつきますが、10度より上で度々起きるなら故障の可能性もあります。

念のため確認ですが、保証期間は終了していますか。保証期間中なら春を待たずにApple に連絡した方が良いので確認させて下さい。