アップデート、インストールができません

　PCもしくはMacのiTunes経由でiOSのアップデートを試すとどうでしょうか。

これさえできないのであれば本体のハードウェアもしくはソフトウェア上で致命的なトラブルを抱えていることになります。

　バックアップが取れるようであれば、一旦古城出荷状態に戻したのちにバックアップから復元してください。

それさえできない場合は新規デバイスとして再設定することになります。

ソフトウェア的に破損していますね。やすどん さんもお書きですがバックアップから復元してみるしかないのでは。ただし異常が出ている状態ではバックアップが正常に行われるのか保証できません。復元しようとしてトドメを指す可能性もあります。他に手がないのでカケです。