2007年モデルのノートパソコンを OS X 10.6.3～10.8.0までアップデートしたい。

本体自体がふるすぎるということで、外付けのハードディスクにインストールを試みたのですが

本体が古ければ、外付けHDDにインストールしても無駄ですよ。 そもそもインストールできないはずです。

2007年式のMacBook系でMountainLionをインストール可能なのは、MacBook Proだけです。

白や黒の筐体のMacBookはLionまでしかインストールできません。

下記リンク先で、システム条件を確認してください。

OS X Mountain Lion - Apple（日本）

返信を待っている間に、「2007 年モデルのノートパソコン」、「Intel Core 2 Duo 2.16 GHz」、「2.0 GB 667MHz DDR2 SDRAM」のキーワードで調べて見ましたが、おそらくイアン555 さんがお使いの Mac のモデルは、MacBook（13-inch, Mid 2007）かと思いますが、どうでしょうか？

MacBook（13-inch, Mid 2007）の場合、アップグレード可能な OS のバージョンは、Mac OS X Lion（10.7.5）までですので、残念ながら OS X Mountain Lion（10.8.x）にアップグレードする事は出来ません。

下記リンクのページから Mac OS X Lion（10.7.x）を購入してアップグレード後に、Mac OS X Lion（10.7.5）までアップデートして下さい。

OS X Lion (10.7) - Apple（日本）

只、MacBook（13-inch, Mid 2007）の場合、Mac OS X Lion（10.7.5）にアップグレードしても、AirDrop や OpenCL 等、一部の機能は使用する事が出来ません。

OS X Lion - 技術仕様

本体が10.8のアップデートができないということは、いくら外付けハードディスクを使っても、新しいアップルパソコンを購入しないと、10.8にアップデートすることは出来ないんでしょうか？

出来ないと思います。

それと、新しい（現行の）Mac には macOS High Sierra（10.13.x）がプレインストールされていますので、逆に OS X Mountain Lion（10.8.x）は古過ぎてインストール出来ません。

（可能なのは、OS X Mountain Lion（10.8.x）以前のバージョンがプレインストール（または、インストールメディアが付属）されていて、OS X Mountain Lion（10.8.x）にアップグレード可能なシステム条件を満たした Mac です）

ノート型だと以下になります。

• MacBook（Late 2008 アルミニウム製、または Early 2009）以降 〜 MacBook（13-inch, Mid 2010）
• MacBook Pro（Mid/Late 2007）以降 〜 MacBook Pro（Retina, Early 2013）
• MacBook Air（Late 2008）以降 〜 MacBook Air（Mid 2012）

購入したソフトウェアがos10.8以降対応の製品なので、os10.7.5で使用出来るかどうか分かりません。

今更になりますが、お使いの MacBook が OS X Mountain Lion（10.8.x）にアップグレード可能かどうかを確認した上で、ソフトウェアを購入するべきでしたね。

ちなみに、購入したソフトウェアと言うのは何でしょうか？

（ソフトウェアにもよりますが、古い OS に対応したバージョンをダウンロード可能な場合も有りますが・・・）

失礼致します。

貼って下さった画像では イアン555 さんがお使いの Mac のモデルが特定出来ませんので、下の画像の様に「詳しい情報」ボタンをクリックすると表示される右側のウインドウで、下の画像赤枠部分（イアン555 さんがお使いの Mac のモデル）の情報を追加して下さい。