失礼致します。
現在の Apple Store でのバッテリー交換ですが、iPhone の場合は基本的に本体交換ではなくバッテリーのみの交換で、iPod touch の場合は従来通り本体交換になる様です。
(iPhone の場合、少なくともバッテリー交換プログラムが終了する 2018 年 12 月 31 日までは、現在の体制で行くものと思われます)
受け取った新しいiPod touchのバージョンがiOS11に上げたものでなかった場合、バックアップから復元をかければ、iOS10.3.3の交換前の状態で復元されますか?
iOS をダウングレードする場合、Apple の署名が有効である必要が有りますが、新しいバージョンがリリースされると古いバージョンの署名は停止される為、基本的に iOS のダウングレードは出来ません。
復元をかけた段階でもし最新のiOS11になってしまった場合、使っているMacのiTunesのバージョンが12.6.2なのですが、引き続き同期をとったりできるのでしょうか?
本体交換された iPod touch が iOS 11.x だった場合、「iTunes」で同期やバックアップ、復元等を行う場合は、少なくとも「iTunes(12.7.1)」以降にアップデートする必要が有り、その為には Mac mini の OS のバージョンを OS X Yosemite(10.10.5)以降にアップグレードする必要が有ります。
(Mac mini のモデルによって、アップグレード出来る OS のバージョンが決まります)
iTunesバージョン別 iOS対応表(Mac編)