マルチユーザー（管理者権限なし）のバックアップ

既に解決済みですが、iCloudのストレージとMac本体のストレージとの区別がよくわかりません。　

『iCloudで自動的にバックアップが作成されていましたが、すぐに容量がいっぱいになりました』とのことですが、iCloudのストレージがいっぱいになったということでしょうか？　

iCloud Driveをお使いであれば、Mac上のデータとのiCloud上のデータは『同期』の関係になります。　Macから特定のデータを削除するとiCloud上のデータも自動的に削除されます。　なので、Mac上のデータのバックアップをiCloud上にとるというのは、利用方法がずれているように思えます。

Time Machineはバックアップの対象を選択できます。　また、外付けHDDを個人で使用なさるのであれば、バックアップを暗号化しておけば、他者がHDD内の情報を見ることはできないです。　→ macOS Sierra: 新しいバックアップディスクを Mac に接続する

その「私のデータ」が書類、ピクチャ及びミュージックのいずれかフォルダのデータを意味するなら、NASとかクラウドにバックアップコピーすればよいのでは。

外部からの利用と、バックアップとは全く別の問題（＆用途）なので、それぞれに適したものを選択した方がよいのでは。