Google Chromeが突然起動しなくなりました。

ほかのアカウントでも問題が起きるかどうか確認してください。

Mac で別のユーザアカウントを使って問題を検証する方法 - Apple サポート

ほかのアカウントだと問題が起きない場合は ~/Library/Application Support/Google/Chrome をデスクトップに退避してみてください。ただし履歴などはすべて消えます。

あと Firefox 45.9.0esr もありますが Snow Leopard な環境がないので使えるかどうかはわかりません。

https://ftp.mozilla.org/pub/firefox/releases/45.9.0esr/mac/ja-JP-mac/

一番簡単なのは、TimeMachineのバックアップから前日の状態に復元してみることですが…。

仕事で使用しているのであれば、バックアップしてありますよね…？

再インストールを何度試みても

MacOS X 10.6.8を再インストールしたのですか？

それとも、GoogleChromeの同じバージョンを再インストールしたのですか？

Google Chrome 旧バージョン - Mac

システムファイルが原因なら、MacOS Xを再インストールしたら治るかもしれませんが、GoogleChromeの設定ファイル等の問題なら、それらのファイルを一旦ゴミ箱や任意の場所に移動してからChromeの起動を試さないと、同じことの繰り返しです。

仕事の都合上、OSをアップデートするわけにいかず、Safariでは全くWEBの閲覧ができず困っています。

仕事で使用するのであれば、なおさら、セキュリティアップデートが2013年秋で終了しているMacOS X 10.6を使用するのは問題があるのでは？

SnowLeopardのSafariでは、TLS1.2に対応できませんから、本年7月以降、Webページが開けないパターンが多くなるのは当然です。

(Safariを使いたいのなら、OS X 10.9 Marvericks以降にアップグレードするしかない)

当該Macは、インターネットから切り離して、業務に使用しているアプリ専用に運用するか、最新のMac&アプリの導入を考えたほうが良いのでは？

> あと Firefox 45.9.0esr もありますが Snow Leopard な環境がないので使えるかどうかはわかりません。

Mac OS X 10.6.8 でちゃんと動きます。私もこのバージョンを使ってます。