アップルマークの下に待ち時間バーが出た後、電源が落ちる

電源コードを接続した状態でも落ちますか？

２０１１年以前に発売された MacBook Pro だと Apple 並びに正規サービスプロバイダーでの修理は受け付けられないと思います。（参考サイト：ビンテージ製品とオブソリート製品 - Apple サポート）

ただ、お近くに Apple Store（ストア一覧 - Apple Store - Apple（日本））があればですが、ジーニアスバー（要予約）で診てもらうことはできるかと思います。

こんなブログがあります。

http://mac-repair.jp/blog/3913

これによれば、起動時アップルマークが出て起動しない場合、まずはhddの故障かOSXが壊れてることを疑い、それをhdd交換してみて正常に起動するかどうかなどを検討する。それでダメな場合は重症のことが多い、ということです。

HAYAMAさんのおっしゃる通り、8年ほど前のモデルだと、Appleでは修理してくれない可能性が高いです。

月日が経過すると Mac もオブソリートとやらで修理対象に影響があるようですね。

私の場合（iMac Lete 2013）、電源が落ちる症状において同じ経験をしたことがありますが、修理費おいてはロジックボード交換すると5万円以上かかりました。2回経験しました。2010年の Mac Book Pro においても同じほどの修理費は覚悟された方が良いかもしれません。ですので大事なデータは必ずバックアップをお勧めします。