Mac mini (Mid 2011)が突然起動できなくなってしまいました

Mac mini (Mid 2011)が突然起動できなくなってしまいました。

プロセッサ　：2.5GHz　Corei5

メモリ：４GB（購入時のままです。）

OS：10.11(10.7から2年くらい前にアップグレード）

症状：起動途中でバーグラフが6割ぐらい進むと突然いったん画面が消え、そのあと真っ白な画面が映ってそのままです。セーフブートすると、9割ぐらいまでは進むのですが、そのあと同じ状態になります。外付けHDをつないで10.7および10.11のディスクから起動しようとすると、どちらを選んでもやはり途中で止まってしまいます。リカバリーでOS10.7を入れ直そうとしたのですが command+Rで起動しても、再インストールの画面までたどり着けません。

ターゲットディスクモードでは起動できるので、Firewireで他のMacにつないでみたところ、データは読めましたのでとりあえず必要そうなデータ類は外付けHDにコピーすることができました。OSの再インストール方法等を含めて何かできることは無いでしょうか？