旧式のAppleTVが

これ本当にうっとうしい。一応下記で解決できるらしい。うちはサインインせずに放っていますが。

Apple ID の 2 ファクタ認証 - Apple サポート

古いソフトウェアを実行したデバイスで 2 ファクタ認証を使うとどうなりますか？

Apple TV (第 2 または第 3 世代) など、古いバージョンの OS を搭載したデバイスで 2 ファクタ認証を使うと、サインインの際に、パスワードの末尾に 6 桁の確認コードを追加するように案内される場合があります。iOS 9 以降または OS X El Capitan 以降を搭載した信頼できるデバイスから確認コードを取得するか、信頼できる電話番号にコードを送信してください。そうして入手した 6 桁の確認コードを、パスワードフィールドにパスワードに続けて直接入力してください。