iPhone では歌詞は編集できないと思います。「表示」と「非表示」があるだけで、自分で入力した歌詞をタップしても、編集できるようにはならないですね。
iTunes では歌詞を自分で入力できますが、Apple Music で提供されている歌詞は、私が1曲だけ試した限りでは編集できませんでした。ただし、下に「カスタムの歌詞」というオプションがあり、それにチェックを入れると、Apple Music の歌詞がすべて消えるので、自分で歌詞を入力できるようになるみたいです。もし Mac または Windows パソコンをお持ちなら、試してみてはいかがでしょうか。曲を右クリックして表示される「曲の情報」(Windows では別の名前かもしれません)に「歌詞」というタブがあります。