元々自分のMacに入っていたOSを調べる方法

お使いのMacの購入日が分かりますか？　その購入時の最新のOSではないでしょうか？

失礼致します。

新規購入した Mac にプレインストールされていた macOS Catalina（10.15.x）に、古い Mac の macOS High Sierra（10.13.x）環境の「Time Machine」バックアップを復元したい と言う事で宜しいでしょうか？

ダウングレードは、macOS Catalina（10.15.x）の不具合対策 でしょうか？　それとも、お使いのアプリケーションや周辺機器（のドライバ等）の未対応 でしょうか？

Pajerow さんがお書きの様に、Mac には購入時にインストールされていた OS よりも前のバージョンの OS はインストール出来ませんし、もし無理矢理インストールしたとしても、まともに動作しません。

Mac に付属していたバージョンまたはそれより新しい互換性のあるバージョンの Mac オペレーティングシステムを使う - Apple サポート

なので、macOS Catalina（10.15.x）がプレインストールされていた新しい Mac に、macOS High Sierra（10.13.x）環境の「Time Machine」バックアップを復元する事は出来ません。

【 ダウングレードの目的が、macOS Catalina（10.15.x）の不具合対策である場合 】

• 古い Mac がお手元に有る場合は、古い Mac を使用。
• 古い Mac がお手元に無い場合は、Apple から不具合の修正バージョン（macOS Catalina（10.15.1）等）がリリースされるまで、我慢するしか無いです。

【 ダウングレードの目的が、アプリケーションや周辺機器（のドライバ等）の未対応である場合 】

• 古い Mac がお手元に有る場合は、古い Mac を使用。
• 古い Mac がお手元に無い場合は、アプリケーションの提供元や周辺機器のメーカーが、macOS Catalina（10.15.x）対応のバージョンを、リリースしてくれるのを待つしか有りません。

表題の通り

「元々自分のMacに入っていたOSを調べる方法」

であれば、Macの正確な型番の情報(左上アップルメニューの「このMacについて」で表示される機種名; MacBook 12-inch, Late 2015等)を書けば、いくらでも調べられます。

>Catalinaから新しいmacをダウングレードする

皆さん書かれてますが、これはできません。購入時のOSがインストールできる最も古いOSです。

ただし、古いOSで使っていたTimeMachineバックアップからデータ等を移行することは可能です。この際、古いアプリでCatalina非対応のものは移行されたとしても使えません(使えないものは移行されない可能性もあります)。

もしかして、新しく買ったMacに、TimeMachineから古いOSを復元しようとしてませんか？

それをしてもおそらく動きませんよ。

違ってたらご容赦を。