アプリの中に斜線のついたものがいくつかあるが、どうすればいいのかよく分かりません。

「斜線がつく理由」については理解されていますか？

32 ビット App と macOS High Sierra 10.13.4 以降の互換性 - Apple サポート

そのアプリの64ビット版が提供（予定も含む）されていないか確認し、提供されていればアップデートします。

64ビット版が提供されていない場合はそのアプリの使用を諦め、Catalinaに対応した代替えのアプリを探します。

この問題はAppleも随分前から告知していましたし、Catalinaを使用しようとしていた人はそれぞれ上記のような対応を予めしていたはずです。

>実際みなさんどのような対応をされているのか

Catalinaは多数のアプリが使えなくなりましたが、これまでもOSアップデートで使えなくなるアプリは色々とありました。

自分の場合は、使えないアプリとか正常動作しないアプリが出てきたら仕事に差し支えるので、買い替えとかOSアップデートの前に、使っているアプリが対応するのかどうか(アップデートやアップグレードの有無)を事前に調べています(より正確には、普段から情報収集していて、OSアップデートに伴うトラブル報告などをこの掲示板とか他の掲示板などから常に仕入れていて、事前にアプリのアップグレードをするなど、移行に備えるようにしています)。

また、一見動作していても全機能が正しく動作するかどうかわからないケースもありますので、新マシンで問題なく使えることが確認できるまでは旧マシンに戻って作業できるよう、旧マシンは必ず手元に残しています(基本的には常時2台体制になっていて、交互に買い換えるような形になってます)。

Mac OS 10.15に対応する気が無いアプリなので、全て捨てる。