iMac OS X Yosemite 10.10.5を使っています。iTunes をアップデートしたら、iPhone 6と音楽の同期ができなくなりました。

iMac の2010年のモデルということですか？

もしそうなら、high sierra（10.13）までは上げることができます。high sierraにすればios13のiphoneとでも接続できるitunesにできます。

以下のAppleのサポート記事にyosemiteからcatalinaまでの最新macosインストーラ のリンクが張ってあります。それぞれのリンク先の記事にそれぞれのmacosバージョンの要件についての記述もありますので確かめてからダウンロード・インストールしてください。

インストーラで「確認できない」または「署名に使用された証明書が ...

＞itunesをアップグレードしたら、iphone6と音楽の同期ができなくなりました

アップグレード後のiTunesのバージョンは？

iPhone6のiOSバージョンは？

お使いのiPhoneはiPhone 6で間違いありませんか？

「iPhoneのiOSをアップグレードしたらiTunesで同期ができなくなった」ということならよく聞くのですがお書きの内容だとその逆なので、

「iTunesのアップグレードで同期ができなくなる」という状況がちょっとわかりません。

iPhone6ならiOS13にはできない(iOS12.4.5が最終）はずなので、iTunesのバージョンが古すぎるということもないと思うのですが...