ヘルスケアが記録されない

そうでしたか…。

あと試せそうなのは、iPhoneの強制再起動、iOS13.5.1へのアップデート(できればPC経由)、それでも改善できない場合は、設定＞一般＞リセット＞すべての設定をリセット、とかでしょうか。

すべての設定をリセットは、設定のし直しをしなければいけないので、少々面倒ですが。

ご参考:

https://support.apple.com/ja-jp/guide/iphone/iph8903c3ee6/ios

https://support.apple.com/ja-jp/guide/iphone/iphea1c2fe48/ios

こちらのサポート記事が参考にならないでしょうか。

https://support.apple.com/ja-jp/HT203271

https://support.apple.com/ja-jp/HT203516

場合によっては、バックアップするのを諦め、先にiOSのアップデートや全ての設定のリセットをする必要があるかもしれません。

個人的な経験として、PCでアップデートを試みた際に どうしても初期化してしまう画面にしかならなかったので、単体でiOSのアップデートをし、その後はバックアップが取れるようになったことがあります。

バックアップが取れない原因と ヘルスケアの問題が、どこかバグで繋がっているかもしれないですね…。

設定＞ プライバシー＞モーションとフィットネス

の設定がオフになってしまっているとか…？

設定＞自分の名前＞iCloud＞ヘルスケア＞

の設定が、オフになっていたらオン、オンになっていたらオフにするどうでしょうか。

iCloudバックアップを失敗するのは重症。

書き出しとか別の同期方法でデータを退避した上、初期化してみるのでは。