ダウンロード失敗してからmacが起動しない

そもそも、何のダウンロードに失敗したのですか？

地球儀ロゴが出ずに、Appleマークが出ているのなら、Macの内蔵ディスク内の復元パーティーションから起動しています。

https://support.apple.com/ja-jp/HT201314

それで起動出来ないなら、OSのバージョンアップ等を中断して復元パーティーションの内容が壊れているのでは？

だとすると、確実にインターネット経由で起動するShift＋Option＋Command＋Rキー起動か、Option＋Command＋Rキー起動を試してみては？

https://support.apple.com/ja-jp/HT204904

iMacの年式も含む正確なモデル名は？

工場出荷時のプレインストールmacosが10.7より前のもの（概ね2011年より前のもの）だとインターネット復元はできませんので、最初は購入時に添付されてたインストールdvdで起動してそのディスクユーティリティでディスクを初期化、macosをインストールする必要があります。そしてソフトウェアアップデートで10.6.8まであげます。10.6.8にできればApp Storeが使えるようになりますので、必要なバージョンのmacosインストーラ を入手できます。添付されてたインストールdvdが10.5以前だと、10.6のインストールdvdも必要ですが、現在では入手するのはとても難しいです。

外付HDDなどにバックアップはしていないのですか？

2011年モデルだと、MacOS X 10.6が付属しているiMacと、10.7が付属しているiMacがありますが、DVDが付属しているなら、10.6が付属していたモデルですよね？

付属のDVDから起動した状態で、ディスクユーティリティで内蔵HDDのデータを外付HDDに復元(コピー)してから、OSを入れ直す作業をしてみては？

それなら内蔵HDDの中身を消してしまっても、外付HDDにデータは残りますので。

で、インターネット経由でmacOS復元は起動出来ましたか？

あとは、macOSをインストールし直すだけです。

macOS 10.15.5 Catalinaや、そのMacで使用できる最新版OSにアップグレードしたかったのなら、Option＋Command＋Rキー起動です。