ログインされてますが、ずっとログインしてくださいと出てます。

iOSが最新の13.7でなければアップデートし、それでも改善できないようであれば、AppleIDサインアウトしてサインインし直すとどうでしょうか。

バックの画面はAppStoreのように見えますが、パスワードは iTunes Storeのものを聞かれていますね。現在サインイン中のAppleIDとは別のIDがありますか。

設定 -> Apple ID -> iTunesとApp Store の一番上にあるApple IDを押してサインアウトし、もう一度サインインしてみてください。