iPhoneのデータをiTunesにバックアップできません

バックアップと同期は違います。「バックアップしようとしてiTunesのライブラリに反映されない」というのは意味が通りません。

やろうとしていらっしゃるのは、iPhoneの中にある音楽をiTunesのライブラリに移すことではありませんか？　それはできません。ただ、バックアップは普通にできるはずです。

そもそもiPhoneの中の曲はどこから入れたものですか？　元がCDなら、iTunesにも同じ曲があるのでは？　iTunes Storeで購入したものなら、iTunesの購入済みからダウンロードできます。

えーと、iTunesのアプリをアンインストールしただけなら、データは残っているのでは？

ユーザーのミュージックフォルダ？（Windows環境を今すぐ確認できないのでうろ覚えですが）にデータがあるか確認されましたか（iTunes＞iTunes Media＞Music）。データまで削除したのではないかぎり、そこに残っていると思いますが。データがあれば、そのMusicフォルダごとiTunesのウィンドウにドラッグすれば、登録されないでしょうか。

＞バックアップと同期の違いはわかるのですが、現在のiTunesライブラリをiPhoneに同期してしまうと上書きされてiPhone内のミュージックではあったものも消えてしまいますよね？

これはおっしゃるとおりです。バックアップを取りたいだけなら、iCloudを利用するか、またはiPhoneを接続する前に、iTunesの設定画面の「デバイス」タブで、「iPod、iPhone、およびiPadを自動的に同期しない」にチェックを入れておきます。

iPhoneの音楽をパソコンにコピーすることはできませんが。