AppleCare 支払い　未成年

原則論で言えば、クレカは券面に記載された人だけが使用可能であり、例え家族であっても名義人以外が使用することは規約違反です(それゆえに、家族名義のカードがオプションで作ることができるようになっている)。

AppleCare購入の支払い手段にどのようなものがあるかわかりませんが、真っ当な手段としては、親からギフトカードを贈ってもらい、それで支払うことではないかと思います。

なお、ギフトカードは2種類あり、iTunes&Appストア用とAppleストア用は全く別物です。間違った方を購入しないよう注意してください。