Apple ID の変更について

失礼致します。

下記リンクの手順で、Apple ID に設定しているメールアドレスを変更する場合は、Apple ID に関する全ての物がそのまま引き継がれます。

Apple ID を変更する - Apple サポート

Apple ID を新規作成した場合は、全くの別物となりますので、別の Apple ID に関連する物は一切引き継がれません。

新しい Apple ID の作成方法 - Apple サポート

その他のアドレスはID登録されず引き継ぎができないようでした。

現在の Apple ID のメールアドレスを、他社の別のメールアドレスに変更する場合、６桁の確認コードが記載された確認メール が届いていませんでしょうか？

（届いたコードを入力して確認が完了するまで、変更したメールアドレスは Apple ID として利用出来ません。　また、30 日以内に作成された @icloud.com のメールアドレスに Apple ID を変更しようとすると、暫くしてからやり直す様に案内されます）

確認メールやリセットメールが届かない場合 - Apple サポート

necotaさんが書かれている通りApple IDに使っているメインのメールアドレスを@auからそのフリーのメールアドレスに変更する必要があります。

Apple ID を変更する - Apple サポート

こちらをお読みいただき、WebからAppleアカウント(Apple ID)の管理画面に入り、@auからフリーメールに変更してください。

変更が終わったら、今のiPhoneの設定-> Apple IDでサインアウトし、新しくしたフリーメールのアドレス(変更後のApple ID)でサインインしてください。

追記

Apple IDはメールアドレスを使っていますが単なる文字列です。

@auの文字列をフリーメールの文字列に変える形になります。

結果としてAppleからの色々な通知がApple IDとして設定されているメールアドレスに届けられる形になっています。

横から失礼します。

＞ iPhone上の設定画面から確認してみたのですが、まだ変更前のApple IDのまま

前やった時は、iPhoneの設定の表示は何もしなくても変更後のアドレスになってた記憶があります。

今一度、appleid.apple.comのサイトに新しいApple IDでサインインして確認してみる方が良いと思います。変更がうまくいってるなら、同じパスワードでサインインできます。

連絡先に追加されてるなら、そんなにおかしなことにはなってないと思います。

サインアウトして新しいApple IDでサインインするなら、変更できてなければ全部消えますが、再度元のApple IDでサインインすれば元に戻りますのでわざわざバックアップを用意する必要はないと思います。