以前のバージョンの macOS を入手する - Appleサポート
にsafariでアクセスすれば使いたいバージョンのmacosのインストーラアプリを入手できます。
バージョンアップがうまくいってないのなら、システムに何か不具合があるのかもしれません。上記サポート記事で目的のmacosのバージョンのインストーラアプリをダウンロードしたら、それでusbインストーラを作成して、そのusbで立ち上げ、そのディスクユーティリティで内蔵ディスクを完全に消去して、クリーンインストールしたら良いかもしれません。そのようなやり方なら、そのマックにハード的な問題がないのなら、そのマックの年式にインストールできるとされてるバージョンなら必ずインストールできます。
macOS の起動可能なインストーラを作成する方法 - Appleサポート
なお、usbインストーラを作成するためにはフルインストーラ(6-12gbある)をダウンロードする必要があります。ここへの書き込みによると、運の悪い人はなかなかフルインストーラをダウンロードできないこともあるようです(1gb未満のインストーラしかダウンロードできない)。そういう時は1、2前のバージョンのインストーラをダウンロードしてから、目的のバージョンのインストーラアプリをダウンロードして実行して目的のバージョンまで上げると良いかもしれません。サイズの小さなインストーラの場合には、実行すると、インストール中にフルインストーラをダウンロードします。