やることを整理しないといつまでもできません。
snow leopardにしたら、command + rでmacosユーティリティ(復旧ディスク)が開かなくなったとのことですが、当たり前です。snow leopardにはそんなものありませんから。el capitanのインストーラが動かないというのはおかしいですが、snow leopardは10.6.8まで全てのアップデートを完了してますか(過去にやった限りでは、何度もアップデートと再起動を繰返さないと、10.6.8の最終バージョンにはできなかったと思います)?あるいは、もともとインストールが完了しないとか、おかしいので、el capitanのインストーラアプリは元々おかしいのかもしれません。
OS X El Capitan - 技術仕様 - Appleサポート
には、10.6.8なら、el capitanにできるとしてます。
snow leopardのパスワード忘れたとのことですが、もう一度インストールdvdで立ち上げ、そのディスクユーティリティで内蔵ディスクを完全に消去して10.6.xをクリーンインストールすれば済む話です。
timemachineで戻すなんていうのは、話をややこしくするだけですから止めるべきです。まず、macosだけの状態で、例えば、el cappitanにして、それが動くようになってから、必要なら、timemachineのバックアップを戻せば済むと思いますが。そもそもそのtimemachineのバックアップというのは、macosのどのバージョンのものですか?snow leopardのものなら、(移行機能を利用して)、snow leopardにでも、el capitanにでも戻せます。しかし、el capitanのものなら、snow leopardに戻すなんてことはできません。強引に戻したとしても、全く役に立たないものにしかなりません。