「セキュリティ保護された接続を確立できません」と表示

> OSバージョン10.8以降が必要です

あっ、そうですね。10.7.5からは、そのままでは10.13にできないようです。

上にあげたリンクから、el capitan（10.11）のインストーラをダウンロードし、インストール。でも、el capitanをダウンロードしてインストールしても、インストーラがインストールされるだけですので、アプリケーションフォルダ内のインストール.appをダブルクリックして実行してel capitanにしてください。

el capitanにあげれば、そこからhigh sierraにできます。

El Capitan にアップグレードしてから High Sierra にアップしてみてはどうでしょうか。

macbook air mid 2011ならhigh sierra（10.13）までは上げられます。10.13.6のインストール.appは以下のサイトにsafariでアクセスすればApp Storeからダウンロードできます。ダウンロードするとインストーラがアプリケーションフォルダーにインストールされますので、それを実行すれば10.13.6にできます。

以前のバージョンの macOS を入手する - Appleサポート

10.13.6のsafariなら、大部分のサイトを閲覧できるでしょう（少なくとも、10.7.5よりは遥かにまし）。