MNP にて他社に乗り換えようとしていますが、AppleCare は継続されるのでしょうか

失礼致します。

残念ながら、下記リンクの「注意事項」の項目に、以下（抜粋）の様に記載されています。

• au 契約または povo 契約の契約解除および一時休止をもって、「故障紛失サポート with AppleCare Services」は自動的に退会となります。

【 au - 故障紛失サポート with AppleCare Services 】

https://www.au.com/iphone/service/warranty-4yrs/

契約によるかと…

Appleと直接契約なら継続。

au経由で月々の払いに含まれているならau解約と同時に解約になると思います。