ファイルをコピーしようとするとエラーが起きて再起動してしまい、ファイルをコピーできません

エラーの内容と解決方法は明確ですよ。

IOエラーが出ているのだから、ターゲットディスクモードとして動作しているMacBook AirとMac miniの間で、正常に通信できていないという所までしか解りませんよ。

Mac mini側から、MacBook Airの、どの部分に問題があるのかは判りません。

原因としては

・接続ケーブルの問題。

・MacBook Air側のIOコントローラ(ロジックボード)の問題

・MacBook Air側のSSD上のコントローラの問題

上記の、いずれかが考えられるかと。

MacBook Airのロジックボードの問題なら、SSDを取り出して外付けケースに入れれば、SSD内のデータは読み込めるかもしれない。

でも、MacBook AirのSSD上のコントローラの問題なら、一般人にはどうにもなりませんので、データサルベージ会社に依頼するしかないです。

macosバージョン21A559となってますが、これはmontereyが出る直前のベータ版（RC2）では？

最新の12.1にしても同じですか？

なお、ここではベータ版の話はしてはいけないことになってます。

そうですか。

それだとファイル共有でやるしかないのでは？

MacBook Air 2012 内蔵 SSD 専用外付けケースとしては、OWC 製 OWCMAU3ENVOY12 があります。知人が持っていました。今でも秋葉館で購入できるようです（ https://www.akibakan.com/products/detail/1540 ）。一般的な USB 外付けケースに比べ、コネクタが特殊な為か結構高いです。

良い子は不足の事態に備えて常にバックアップを取ります。

ターゲットディスクモードが失敗するというのも起動しないことも関係してるかもしれませんね。

ターゲットディスクモードにした状態で親macのディスクユーティリティでfirst aidをかけたら普通に読めるようになるということはありませんか？

バックアップがないなら、ディスクを取り出して外付けケースにでも入れて読み出すしかないでしょう。ググってみると、macbook air mid 2012のssdの交換キットというのが販売されてます。このキットを利用すれば、内蔵のssdを外付けssd として使えるということですので、目的に合うのでは？

macbook air mid 2012内蔵のssdはコネクター部が特殊なので、外付けケースとして単体で販売されてるもので、macbook air 2012の内蔵ssdをセットできるものはないと思います。