Mac book air OS X maverick 10.9.5からアップグレード出来ない。

ブラウザが古すぎるので、MacAppStoreへのリンク表示が出ないのでは？

TLS1.2がサポートされるブラウザなら、本来は下記のような表示になります。　

とりあえず、当該ページのYosemiteやElCapitan、Sierraなら、直接、アップデータをダウンロードできますから、一旦、それらのOSに上げてから、Catalina以降のセキュリティアップデートが提供されているOSに段階的にアップグレードしては？

以前のバージョンの macOS を入手する

https://support.apple.com/ja-jp/HT211683

MacBook Air 2014なら、macOS 11 BigSurまでは利用可能です。

一旦、el capitan（10.11）に上げてからならうまくいくのでは？

上のリンク先でel capitanならダウンロードできませんか？

el capitanの場合はインストーラのdmgファイルがダウンロードされますのでそれを解凍して、インストール。インストールするとアプリケーションフォルダーにel capitanのインストール.appがインストールされます。これをダブルクリックすると、el capitanのインストールが始まります。

リンク先をよく読んでわからないことを質問してください。