再起動時やスリープから起こした時に砂嵐になる

ディスプレイのメーカーや型番と、Mac miniとの接続方法は？

HDMI接続だと、ケーブルが長かったり、ケーブルが細くてノイズに弱いと、砂嵐が出たりします。

DisplayPort入力があるディスプレイなら、Mac miniのThunderbolt3 → DisplayPort変換ケーブルでディスプレイと繋げば、砂嵐や同期ズレの可能性は減ります。

もし、DIsplayPort入力にしても問題が出る場合は、ディスプレイ側の制御基板の電解コンデンサが容量抜けを起こし始めていると、徐々に同期ズレが発生しやすくなってきます。

この場合は、ディスプレイの買い替えを考えるしかありません。

そうした時にはパワーボタンを押して遮断し、しばらく経ってから起動させています。

これは、やめた方が良いです。

強制終了を繰り返すと、macOSのシステムに異常をきたす場合があるので、強制終了した時は、必ず、セーフモードで一旦起動して、ディスクの検証と修復を行なってください。

Mac でセーフモードを使う方法 - Apple サポート (日本)

可能であれば、Macを強制終了するのではなく、ディスプレイ側の電源スイッチでOFF→ONにすると、正常に表示されるようになりませんか？

(上記でダメな場合は、OFFにした後、ディスプレイのコンセントを抜いて30秒後位放置してから、コンセントを繋いでONにしてみる)

この対処法で映るようになるなら、Macの強制終了は、やめてください。

砂嵐になっても、すぐ正常になるなら問題ないと思います。

でも、再起動したりしないと正常にならないなら、macとディスプレイの同期が何らかの原因でうまく取れないことが起こるということかもしれません。ケーブの劣化（あるいは一部の断線）も考えられます。ケーブルを変えても改善しないなら、mac側の問題かディスプレイ側の問題かを見極める必要があると思います。mac側としては、他のディスプレイ（テレビでもコンピュータを接続できる場合は多いです）ではどうかとかApple Diagnosticsでハードに問題がないかチェックしてみるとか。