iPhoneアップデート

できません。

最新（15.6）にアップデートされます。

iPhone6sはiOS15.6に対応してないと思ってましたが可能なんですね。

下記のページをご参照下さい。まだ「15.5をサポートしている...」となっていますが、15.6も同じです。6sも含まれています。

iOS 15.5をサポートしているiPhoneのモデル - Apple サポート (日本)

何度か試しましたができない時の方法は？

「コンピュータを使ってアップデートする」ですね。

iPhoneのiOSをアップデートする - Apple サポート (日本)

パソコンを使うか、

初期化した上でバックアップを復元するか。

データ消失リスクがあるので、データ退避等、よく準備することかな。